从对称性到守恒律：把变分算清楚

01问题从哪里开始

给定一个系统的轨迹 q(t)，作用量 S[q] 是整条轨迹的泛函，而不是某一时刻的能量。取 q(t)+εη(t)，并固定两个端点，要求 ε=0 时作用量的一阶导数为零。这里的“驻定”不等于“最小”：真正的解可能是鞍点，判断稳定性需要二阶变分。把两者混为一谈，会在测地线、场论与半经典近似中产生误解。

02一步推导：边界项不是装饰

对一阶变分展开可得 δS=∫[(∂L/∂q)η+(∂L/∂q̇)η̇]dt。第二项分部积分后，边界给出 [(∂L/∂q̇)η]，体积分中的系数则成为 Euler–Lagrange 方程。固定端点使边界项消失；若边界可以移动，就要额外处理自然边界条件。这也解释了为什么引力作用量需要仔细规定边界项，不能只看体积里的方程。

03一个可检验的例子

自由粒子的 L=mq̇²/2 与 q 无关，运动方程给出 mq̈=0。对空间平移 q→q+a，拉格朗日量不变，守恒量是 p=mq̇。若系统具有连续时间平移对称性，在通常的正则条件下能量 E=q̇p−L 守恒。含时外力破坏这个前提，因此不能把“所有系统能量守恒”当作无条件结论。

04通向场论与规范理论

把有限个坐标换成场 φ(x)，导数变成时空导数，对称性对应守恒流。全局连续对称性与局部规范冗余扮演不同角色：后者更多关联约束和方程之间的恒等式。量子化之后还需检查对称性是否被正则化和测度保留，经典守恒流不一定自动成为无异常的量子守恒流。

05复习与练习

先独立推导一维谐振子的运动方程，再计算其时间平移守恒量。接着将 L 加上一个全时间导数 dF(q,t)/dt，比较运动方程与正则动量的变化。最后尝试解释：为什么不同拉格朗日量可以描述同一条经典轨迹，而边界条件仍然影响变分问题？

参考与延伸阅读

1. Noether：Invariant Variation Problems（英译本） ↗

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