有效场论：从尺度分离到可控近似

ℒeff = Σᵢ cᵢ Oᵢ / Λ^(Δᵢ−d)

01有效并不意味着随意

有效场论首先指定适用的能量尺度和自由度，再按照对称性列出允许的相互作用。它不声称描述任意高能过程，而是组织一个可以系统改进的近似。当 E 远小于某个重质量或截止尺度 Λ 时，许多高维算符的贡献带有 E/Λ 的幂次抑制。预测精度必须与截断阶数一起报告。

在 d 维时空中，拉格朗日密度的质量维数为 d。如果算符 Oᵢ 的维数是 Δᵢ，其系数就需要补足 d−Δᵢ。以四维自由实标量为例，动能项给出场的经典维数为 1，φ⁶ 的系数因此具有负二次质量维数。这里是经典幂次计数；在相互作用固定点附近还需要计入反常维数。

匹配是在某个尺度上要求高能与低能描述对低能可观测量给出相同结果，由此确定 Wilson 系数。重整化群运行则描述这些系数随重整化尺度变化的方式。中间参数可以依赖方案与尺度，但一个完整计算到给定阶数的物理预言，不应任意依赖这些人为选择。

遇到新粒子约束或引力修正的结果，先看展开参数是否小，再看是否同时保留了同阶的全部贡献。一个很大的拟合系数可能提示强耦合、尺度选择不当，或截断失去控制，不能自动解读为新物理。有效理论失效与实验排除某个具体模型，也不是同一种结论。

为具有 φ→−φ 对称性的四维实标量理论列出若干低维算符，并区分哪些可以通过分部积分或低阶运动方程消去。给定 E/Λ=0.1，估计二次与四次幂抑制的相对大小。最后说明：为什么只比较算符维数，仍不足以判断一个具体实验中的灵敏度？

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